年賀状でA HAPPY NEW YEARは間違い！？

はい。結論から言うと年賀状に使う場合には、「A HAPPY NEW YEAR」は間違いです。
正しくは、「HAPPY NEW YEAR」が正解です。

年賀状に使う場合に「HAPPY NEW YEAR」は挨拶となりますので、挨拶に「A」は付けないんですね。
分かりやすい例を出すと誕生日おめでとうの「HAPPY BIRTHDAY」を思い出してください。
A HAPPY BIRTHDAY」とは書かないですよね！？
これと同じです。

ただ、文章の中でHAPPY NEW YEARを使う場合には、
「～ A　HAPPY NEW YEAR～」と、Aが必要になります。